Maxima在线性代数的应用
作者:蔡炎龍
原文：html
简体整理:dbzhang800
Maxima: http://wiki.ubuntu.org.cn/Maxima
简介
这篇文章,是介绍Maxima 这套数学软件,在学习线性代数的应用。
Maxima 是一个所谓的「电脑代数系统」(Computer Algebra System, CAS),这种系统比较为人熟知的还有Mathematica 和Maple 等等。我们选定Maxima 做为我们使用的程序,主要有三个原因:
- 免费
- Maxima 是免费,又是各平台都有的。所有的人可以在自己的电脑上练习。
- 功能完整
- Maxima 虽然不要钱,并不代表不好。Maxima 不论计算或图形功能都十分完整。事实上,Maxima 是最早的全功能CAS 系统Macsyma 的后代。
- 具代表性
- 许多新的CAS 系统,如Maple, Mathematica 都多少受到Macsyma 的启发。所以学会Maxima,要学会Maple 或Mathematica 等软件都是很容易的事。
这篇文章主要是介绍线性代数相关功能。我们不假设同学已会基本的Maxima 使用方式,所以我们会用到的概念,也许不纯粹是线性代数的,也会一并介绍。专就线性代数而言,我们要会的其实并不多。想要快速进入状况,可以跳过前面的部份,直接看线性代数相关指令,在操作上有问题时,再回头看有问题部份的相关说明即可。
如果同学们比较喜欢使用Mathematica,Maple,或是Matlab 等商业软件也是可以的。我们系上的电脑室有提供这些软件,可以上机试用看看。
基本概念
我们先介绍一下Maxima 操作的方式。
Maxima 当计算器
我们先来看,如果我们要把Maxima 当计算器用,会是什么情况?
(%i1) 1+1; (%o1) 2 (%i2) 3*4*7; (%o2) 84 (%i3) 9/3; (%o3) 3
到目前为止,似乎还没什么特别。除了可以做复杂一点点的运算,和平常的计算机或数值计算软件也没什么不同。以下的例子就不一样了:
(%i4) 7/3;
7
(%o4) -
3
(%i5) 1/2+2/3;
7
(%o5) -
6
从(%o4)我们看到,7/3这种运算,Maxima 不是告诉我们2.3333...,而是分数的形式!难道Maxima 真的懂分数?不要怀疑,这就是所谓电脑代数系统(CAS) 的特长。我们可以像(%o5)的例子一样,输入个分数的四则运算试试即知。
如果坚持要用浮点数,那只要加个float 指令即可:
(%i6) float(7/3); (%o6) 2.333333333333334
为了完整,我们顺便再介绍指数,根号,阶乘表示法:
(%i7) 2^10; (%o7) 1024 (%i8) sqrt(9); (%o8) 3 (%i9) 5!; (%o9) 120
我们可以看出,这些运算不是自然的数学符号,就是和我们平常电脑程序语言的写法。
指令结尾
在上面的例子中,我们发现,在Maxima 下指令,结束时一定要打上分号「;」,让Maxima 知道我们下的指令已结束。为什么要多这一个动作,主要是为了有时打比较长的指令可以换行之故。另一个结束方式是打入「$」的符号。不同於分号的地方是「运算结果不会显示出来」:
(%i10) 2+3$ (%i11) 2+3; (%o11) 5
有一些CAS 程序,如Matehmatica 是用分号表示不显示运算结果。不过Maxima 中分号已用上,必需用其他字符。
离开Maxima
离开Maxima 打入“quit();” 即可。
当然,很多人可能会觉得奇怪,为什么不是打入“quit” 就好了呢?原来像这种程序导向的语言,什么动作其实都是执行一个函数。所以我们事实上是执行一个叫「离开」的函数。这函数没有参数,所以就成了quit() 的形式。
结果的引用
我们时常会需要引用前面的结果,这时就用百分比符号“%” 。比方说:
(%i12) 7/3;
7
(%o12) -
3
(%i13) float(%);
(%o13) 2.333333333333334
Maxima 也可以指定使用第几个输出的结果,不过自己定一个标签可能是最好的方式。比方说,我们可以这样用:
(%i14) myresult:34+(65*72)/119;
8726
(%o14) ----
119
(%i15) float(myresult);
(%o15) 73.32773109243698
重要常数
Maxima 当然有内建e 或是π 常常用到的数,只是表示法奇怪一点。e 是%e 而π 是%pi 。
定义变量
Maxima定义变量的想法有点特别,在定义一个变数时,其时是给某个数字、矩阵,或想要定义的任何式子等等一个标签。让我们来看几个例子:
(%i16) a: 37; (%o16) 37 (%i17) a; (%o17) 37 (%i18) b: 22+100*(375-128); (%o18) 24722 (%i19) a+b; (%o19) 24759
函数
Maxima 函数的定义和使用非常直觉,我们看几个例子就知道:
(%i20) f(x) := 3*x^2+5;
2
(%o20) f(x) := 3 x + 5
(%i21) f(2);
(%o21) 17
(%i22) g(x, y) := sin(x)*cos(y);
(%o22) g(x, y) := sin(x) cos(y)
(%i23) g(2*%pi, 4);
(%o23) 0
重点就是,在定义函数时要用“:=” 去定义。比较一下和变数定义的不同,想想为什么要有两种不一样的定义方式。
进阶使用
列式而不运算
我们先计算一个瑕积分,用到无穷大的部份Maxima 是以inf 表示:
(%i1) integrate(%e^(-x^2),x,0,inf);
sqrt(%pi)
(%o1) ---------
2
还记得这在微积分是怎么积出来的吗?Maxima 居然会积!不过,今天这不是我们的重点。今天重点是,有时你不是要秀答案,只是要列出式子。我们要怎么样让Maxima 不要太自动就算出来呢?答案是加个“”号在前面,例如:
(%i2) 'integrate(%e^(-x^2),x,0,inf);
inf
/ 2
[ - x
(%o2) I %e dx
]
/
0
kill 指令
有时我们设定了一堆变数,函数,后来又不想再用下去,可以用kill 指令。而kill(all) 更是把我们定义过的变数,函数全部删除。看些例子就更加清楚:
(%i3) f(x) := 3*x^2+5;
2
(%o3) f(x) := 3 x + 5
(%i4) f(x);
2
(%o4) 3 x + 5
(%i5) kill(f);
(%o5) done
(%i6) f(x);
(%o6) f(x)
ev的使用
我们可以把Maxima 的ev 指令想成一个独立的环境。有点像在写程序时的函式一样, 并不会影响到其他的运作。第一种ev 的应用是把我们设成不要执行的指令执行:
(%i7) f: 'integrate(x^2, x);
/
[ 2
(%o7) I x dx
]
/
(%i8) ev(f, integrate);
3
x
(%o8) --
3
另一个很有用的使用方式是, 我们有个式子, 比方说:
(%i9) f: a*x^2+b*2+c;
2
(%o9) a x + c + 2 b
假设我们想令一个式子是a = 1, b = −2, c = −8 的情况, 我们当然可以先令各个变数是这样,们问题是这么一来, f 也永远是x2 − 2x − 8, a, b, c 这三个变数也不再是「符号」, 而是有值的。为了避免这个问题, 我们可以用ev 指令, 在下了这个指令后, 我们可以发现, 并没有变动到原来a, b, c或是f :
(%i10) g: ev(f, a=1, b=-2, c=-8);
2
(%o10) x - 12
(%i11) a;
(%o11) a
线性代数相关指令
这节我们正式介绍线性代数相关,也就是矩阵相关的指令。
矩阵及向量
我们先来看矩阵和向量的定义方式。前面说过,在Maxima 里,所谓设定一个变数的值,只不过是给某个数字或矩阵等等一个名称。我们这里就举应用在矩阵和向量时的情况:
(%i1) A:matrix([1,2,3],[-2,8,3],[1,4,9]);
[ 1 2 3 ] [ ]
(%o1) [ - 2 8 3 ]
[ ]
[ 1 4 9 ]
(%i2) v: [2,3,5]; (%o2) [2, 3, 5]
我们可以看出,要定义一个矩阵,就是把矩阵一列列的输入;定义一个向量,其实和我们用手写向量出来也差不多。不过,问题是我们在线性代数常常要把向量写成「列
向量」,而非如上的「行向量」表示方式。我们可以用下面两种不同的方式达成:
(%i3) v:transpose([2,3,4]);
[ 2 ] [ ]
(%o3) [ 3 ]
[ ]
[ 4 ]
(%i4) v:matrix([2],[3],[5]);
[ 2 ]
[ ]
(%o4) [ 3 ]
[ ]
[ 5 ]
其实向量应该是一个一列或一行的矩阵, 但是Maxima 提供了简单定义行
向量的方法。这里要强调一点, 一般来说因为矩阵乘法的关系, 我们写成列向量和行向量差别很大。不过Maxima 其实不太在意这点: 它可以聪明地发现你要做的事, 并且正确得计算出来!简单的说, 一般而言, 我们不需要麻烦得定义行向量, 用列向量即可。
矩阵的表示和截取
这节我们讨论矩阵的抽象表示和取出一个矩阵行,列,甚至entry 的方法。这在很多理论和计算的尝试会用到。Maxima 是一个CAS 系统,所以我们可以完全用符号去定义一个矩阵,比方说:
(%i5) A: matrix([a[1,1],a[1,2]],[a[2,1],a[2,2]]);
[ a a ]
[ 1, 1 1, 2 ]
(%o5) [ ]
[ a a ]
[ 2, 1 2, 2 ]
你也可以做完全抽象的代数计算:
(%i6) c*A;
[ a c a c ]
[ 1, 1 1, 2 ]
(%o6) [ ]
[ a c a c ]
[ 2, 1 2, 2 ]
如此一来,我们要试著导出一些定理就非常方便!
现在,我们重新把A 定义成一个实数矩阵,再看看怎么样找出A 的某一列,某一行,或某个entry。
(%i7) A: matrix([1,2,3],[-2,8,3],[1,4,9]);
[ 1 2 3 ]
[ ]
(%o7) [ - 2 8 3 ]
[ ]
[ 1 4 9 ]
(%i8) row(A,1);
(%o8) [ 1 2 3 ]
(%i9) col(A,2);
[ 2 ]
[ ]
(%o9) [ 8 ]
[ ]
[ 4 ]
(%i10) A[2,3];
(%o10) 3
矩阵向量之四则运算
我们要做矩阵加法、减法、乘法非常直觉而容易。乘法用的运算元是“.”。我们假设有了前面矩阵A 和向量v 的定义,来看以下的例子:
(%i11) A.v;
[ 23 ]
[ ]
(%o11) [ 35 ]
[ ]
[ 59 ]
也可以定义非向量的矩阵试试矩阵的乘法。比方说,两个矩阵A , B 的乘积是A.B,要注意A*B 并不会得到矩阵相乘的结果!到底A*B 是什么意思,大家不妨自己试试,看可不可以找出其中的意义。
量内积的做法和你想的一样:
(%i12) w: [2,3,5]; (%o12) [2, 3, 5] (%i13) w.w; (%o13) 38
你可能发现了一个问题,那就是我们上面内积的例子是用列向量。那行向量可以吗?可以的!Maxima会聪明的知道你想做什么,不信可以试试看。
矩阵和向量的纯量乘法是用平常的“*” 号:
(%i14) 2*A;
[ 2 4 6 ]
[ ]
(%o14) [ - 4 16 6 ]
[ ]
[ 2 8 18 ]
现在我们来看一下有可能会产生误会的地方。假设我们现在要算A · A ,你可能会想是A^2,结果并不正确!其实A^2 是把A 的每一个entry 都平方。正确计算A · A 要用A^^2
矩阵相关函数
我们要计算矩阵的行列式值,求转置矩阵, 矩阵的秩等等的基本运算,Maxima 当然也都有(A还是我们之前定义的矩阵):
(%i15) transpose(A);
[ 1 - 2 1 ]
[ ]
(%o15) [ 2 8 4 ]
[ ]
[ 3 3 9 ]
(%i16) determinant(A);
(%o16) 54
(%i17) rank(A);
(%o17) 3
我们当然也可以手动计算行列式值。但这时需要知道矩阵第i, j 这个位置的子式(minor), 也就是A 矩阵去掉第i 列, 第j 行所成的矩阵, 这指令叫minor:
(%i18) minor(A,1,1);
[ 8 3 ]
(%o18) [ ]
[ 4 9 ]
矩阵的余因子(cofactor) 在Maxima 中并没有定义, 好在我们自己可以很容易定一个cofactor函数:
(%i19) cofactor(M,i,j):=(-1)^(i+j)*determinant(minor(M,i,j));
i + j
(%o19) cofactor(M, i, j) := (- 1) determinant(minor(M, i, j))
(%i20) cofactor(A,1,1);
(%o20) 60
我们在计算反矩阵等会用到的古典伴随矩阵(classical adjoint matrix) 也很容易算出来:
(%i21) adjoint(A);
[ 60 - 6 - 18 ]
[ ]
(%o21) [ 21 6 - 9 ]
[ ]
[ - 16 - 2 12 ]
说到反矩阵,要用Maxima 求出来也是易如反掌:
(%i22) invert(A);
[ 10 1 1 ]
[ -- - - - - ]
[ 9 9 3 ]
[ ]
[ 7 1 1 ]
(%o22) [ -- - - - ]
[ 18 9 6 ]
[ ]
[ 8 1 2 ]
[ - -- - -- - ]
[ 27 27 9 ]
或是你也可以用前面的方式求反矩阵:
(%i23) A^^(-1);
[ 10 1 1 ]
[ -- - - - - ]
[ 9 9 3 ]
[ ]
[ 7 1 1 ]
(%o23) [ -- - - - ]
[ 18 9 6 ]
[ ]
[ 8 1 2 ]
[ - -- - -- - ]
[ 27 27 9 ]
在解线性方程组常用到的梯形矩阵也是容易得很:
(%i24) echelon(A);
[ 1 2 3 ]
[ ]
[ 3 ]
(%o24) [ 0 1 - ]
[ 4 ]
[ ]
[ 0 0 1 ]
使用模组
用了Maxima 一阵子,你可能会预期它该会的都会。比方说求一个矩阵的trace,这应该够容易了吧?
事情并不是那么简单。Maxima 本身是「不会」算trace 的!当然我们可以自己写个小程序,不过先别急。我们可以使用使用适当的模组来做这件事。
所谓模组就是一段小程序,通常是增加一些指令,供你使用。你也许会觉得奇怪,那为什么Maxima 不一开始就把这些模组都加进来?那是因为如此一来太占用内存,也许很多对某些人重要的指令你永远也不用去用!
我们要算一个矩阵的trace,要使用ncharl 这个模组,这个模组提供了mattrace 指令去计算trace。
使用的方法如下,先以
(%i25) load("ncharl");
读入ncharl 模组,接著就可以使用这个模组提供的指令:
(%i26) A:matrix([1,2,3],[2,2,1],[3,3,1]);
[ 1 2 3 ]
[ ]
(%o26) [ 2 2 1 ]
[ ]
[ 3 3 1 ]
(%i27) mattrace(A);
(%o27) 4
线性代数应用实例
特征值和特征向量
我们这里讨论线性代数很重要的特征值相关的计算。我们定义一个矩阵A , 计算特征值和特征向量时我们都以这个矩阵为主要讨论对象:
(%i1) A: matrix([4,0,1],[2,3,2],[1,0,4]);
[ 4 0 1 ]
[ ]
(%o1) [ 2 3 2 ]
[ ]
[ 1 0 4 ]
我们计算一下特征值:
(%i2) eigenvalues(A); (%o2) [[5, 3], [1, 2]]
么样,很方便吧...等等,特征值怎么会出来两个向量呢!?原来,真正的特征值是放在结果的第一个list 当中,也就是5 和3。那第二个list 代表什么呢?代表的就是每个特征值的几何重数, 也就是每个特征值对应的特征向量空间之维度。换言之,这是比较完整的特征值资讯!
我们也可以用eigenvectors 计算特征向量。事实上,eigenvectors 也会把特征值列出来,所以是包含前面eigenvalues 功能的指令。不过如果我们一开始就介绍eigenvectors,看到那有点复杂的结果大家可能会昏倒。现在已经会了eigenvalues,大概就没问题了:
(%i3) eigenvectors(A); (%o3) [[[5, 3], [1, 2]], [1, 2, 1], [1, 0, - 1], [0, 1, 0]]
第一部份和eigenvectors 输出一样,就是说我们有5 有和3 两个特征值,其mutiplicities 分别是1 和2。因此,对於5 应该要有一个对应的特征向量,即[1, 2, 1] ,对於3会有两个,分别是接下来的[1, 0, −1] 和[0, 1, 0] 。这些向量会生成相对应特征值的向量空间。
手动特征值的计算
上一节介绍Maxima 内建特征值计算,并不一定每个人都喜欢。比方说显示的方式比较特别,另外就是不是一步一步算的,心里有时也有不踏实的感觉。因此,我们这里介绍一下如何用Maxima 一步一步的把特征值求出来。
我们再用一次上一节的例子:
(%i4) A: matrix([4,0,1],[2,3,2],[1,0,4]);
[ 4 0 1 ]
[ ]
(%o4) [ 2 3 2 ]
[ ]
[ 1 0 4 ]
我们先求特征多项式,也就是A − tI 的行列式值:
(%i5) f: charpoly(A,t);
2
(%o5) t + (3 - t) (4 - t) - 3
如果想要看到比较漂亮的式子, 可以将f 展开:
(%i6) expand(f);
3 2
(%o6) - t + 11 t - 39 t + 45
我们还可以将f 做因式分解, 这样就可以清楚看到A 有几个特征值, 和各特征值的代数重数:
(%i7) factor(f);
2
(%o7) - (t - 5) (t - 3)
这样我们就求得A 的特征值是5 和3 。
另一个解法是,我们可以求f = 0 的零根。做法是使用solve 指令:
(%i8) solve(f=0, t); (%o8) [t = 5, t = 3]
当然,我们算法正确,应该是得到和前面一样的结果。
解线性方程组
线性代数的核心问题,就是解线性方程组。解线性方程组一样可以用上一节介绍的solve 指令来解。我们来看一个简单的例子,并且用Maxima 来解。
我们考虑下面的线性方程组:
x + 2y + 3z = 6 2x − 3y + 2z = 14 3x + y − z = −2
我们一样可以用前面用过的solve 指令来解:
(%i9) eq1: x + 2*y + 3*z = 6; (%o9) 3 z + 2 y + x = 6 (%i10) eq2: 2*x -3*y +2*z = 14; (%o10) 2 z - 3 y + 2 x = 14 (%i11) eq3: 3*x + y - z = -2; (%o11) - z + y + 3 x = - 2 (%i12) solve([eq1, eq2, eq3],[x,y,z]); (%o12) x = 1, y = - 2, z = 3
手动求特征向量空间的基底
我们在前面介绍过, 使用eigenvectors 指令就可以求出特征向量空间的一组基底。我们再用一次前面的矩阵:
(%i13) A: matrix([4,0,1],[2,3,2],[1,0,4]);
[ 4 0 1 ]
[ ]
(%o13) [ 2 3 2 ]
[ ]
[ 1 0 4 ]
我们已经求出A 的特征值是5 和3 , 我们这里用特征值3 做范例, 看看怎么样能求出对应的特征向量。我们现在要求的就是什么样的向量v , 会满足(A − 3I)v = 0 。这里我们可以用ident 指令可以很容易造出n × n 的单位矩阵。以下我们就把大略的设定做好:
(%i14) I: ident(3);
[ 1 0 0 ]
[ ]
(%o14) [ 0 1 0 ]
[ ]
[ 0 0 1 ]
(%i15) v: [x,y,z];
(%o15) [x, y, z]
(%i16) u: (A-3*I).v;
[ z + x ]
[ ]
(%o16) [ 2 z + 2 x ]
[ ]
[ z + x ]
我们现在就是要看什么样的x, y, z 会让u 是零向量。这个例子其实用手解也很容易, 但是我们给Maxima 一个机会。我们要做的就是解一个线性方程组:
(%i17) eq1: u[1,1]=0; (%o17) z + x = 0 (%i18) eq2: u[2,1]=0; (%o18) 2 z + 2 x = 0 (%i19) eq3: u[3,1]=0; (%o19) z + x = 0 (%i20) solve([eq1,eq2,eq3],[x,y,z]); Dependent equations eliminated: (2 3) (%o20) x = - %r1, y = %r2, z = %r1
这看来有点可怕的%r1 和%r2 是什么呢? 原来这只是表示两个参数, 换成我们一般的写法, 我们可能会写成x = −t, y = s, z = t 。至此, 我们已找到特征向量的一般表示式, 如果要找到一组基底也很容易, 我们先令ans 代表前面解出的式子, 再把(%r1, %r2) 代入(1, 0) , (0, 1) 即可:
(%i21) ans: %; (%o21) x = - %r1, y = %r2, z = %r1 (%i22) ev(ans, %r1=1, %r2=0); (%o22) x = - 1, y = 0, z = 1 (%i23) ev(ans, %r1=0, %r2=1); (%o23) x = 0, y = 1, z = 0
我们可能会希望把结果设成两个向量v1 , v2 , 方便以后使用。我们可以再用ev 来做到这样的事:
(%i24) v1: ev([x,y,x], %o22); (%o24) [- 1, 0, - 1] (%i25) v2: ev([x,y,x], %o23); (%o25) [0, 1, 0]
Maxima 的绘图功能
二维绘图
Maxima 二维绘图的指令是用plot2d。比方说,我们要画4x3 − 2x − 2 这个函数,设定x 轴范围是从-5 到5,就下这个指令:
(%i1) plot2d([4 * x^3-2 * x-2],[x,-5,5]);
三维绘图
三维绘图也一样容易,只要改用plot3d 的指令即可:
(%i2) plot3d(cos(-x^2+y^3/4),[x,-4,4], [y,-4,4]);
Geomview 是一个UNIX 的软件,Maxima 可以运用Geomview 做出非常漂亮的3D 图形。我们来看上个例子以Geomview 输出的结果。
(%i3) plot3d(cos(-x^2+y^3/4),[x,-4,4], [y,-4,4], [plot_format,geomview]);
Geomview 不但可以画出漂亮3D 图形,更重要的是它可以弥补Maxima 的一些缺点。比方说,Maxima 本身的3D 绘图不可以同时显示两个或两个以上函数图形(2D可以),但利用Geomview,这样的绘图变成可能。
点绘图
有很多绘图的应用,就只需要画出点,或是用一些点来描述一些函数。这事实上比画函数还简单,但是Maxima 直到5.9.2 版才有这样的功能。详情请参考(5.9.2 之后的) 使用手册。
多个函数的绘图
如果要比较几个函数,要如何下指令呢?我们来看个例子就明白了:
(%i4) plot2d([cos(x), sin(x), tan(x)], [x, -2*%pi, 2*%pi], [y,-2,2])$
这个例子会同时画出cos(x), sin(x) 和tan(x) 的图形。
参数式绘图
我们仅简单举一参数式绘图之例子, 详情请参考Maxima 使用手册。
(%i5) plot2d([parametric, cos(t), sin(t), [t,-2*%pi,2*%pi], [nticks,80]]);
Maxima 的安装
在Maxima 的官方网站有不同版本的Maxima 供各平台使用:
不过,不同平台可能有一些不同的选择。我概略说明一下我建议的安装方式。不管用Windows, Mac, 或是Linux,我都推荐使用TeXmacs 这个文书处理软件当界面,因为这样可以显示最漂亮的数学符号。
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Maxima 在线性代数的应用
本文件使用LaTeX2HTML , Version 2002-2-1 (1.71) 转换。
Copyright c 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit,Universityof Leeds.
Copyright c 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University,Sydney.
中文转换方法详见李果正《我的CJK》中「CJK 和LaTeX2HTML 的配合」之说明。本文使用李果正taiwan.perl 套件。
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