Maxima简介：修订间差异
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==Maxima编程== | ==Maxima编程== | ||
到现在为止，我们已经在交互模式下用过了 | 到现在为止，我们已经在交互模式下用过了 Maxima，就象个计算器一样，然而，对于那些需要多次调用的计算过程，还是编写一个自定义函数来得方便。这里我们展示了一个简短的自定义函数，用来计算二元函数 f(x,y) 的极值点。这个程序提示用户输入函数 f，之后就会计算 fx 和 | ||
fy 的偏导数，接着调用 Maxima 命令 solve 去得到 fx=fy=0的解。这个程序在 Maxima | |||
之外用一个文本编辑器编写，然后用 batch 命令装载进 Maxima。下面是程序列表： | |||
fy | |||
/* -------------------------------------------------------------------------- | /* -------------------------------------------------------------------------- | ||
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)$ | )$ | ||
这个程序 (实际上是个没有参数的函数) 叫做 | 这个程序 (实际上是个没有参数的函数) 叫做 critpts。每一行都是一个有效的 Maxima 语句，由逗号隔开。偏导数被保存在一个叫做 eqs 的变量中。未知数保存在变量 unk | ||
中。以下是运行示例： | |||
(%i1) batch ("critpts.max"); | (%i1) batch ("critpts.max"); | ||
2013年10月3日 (四) 13:56的版本
作者：Richard H. Rand
翻译：dbzhang800
Maxima: http://wiki.ubuntu.org.cn/Maxima
简介
在linux中运行Maxma,键入
maxima <回车>
计算机将显示如下的欢迎词:
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING. Dedicated to the memory of William Schelter. This is a development version of Maxima. The function bug_report() provides bug reporting information. (%i1)
此处(%i1) 是一个“标签”。每一个输入或输出行都贴有一个标签，每一行都可以在随后的会话中通过标签被
调用。标签i代表该行是你输入的命令，标签o代表该行为机器的响应。 永远不要尝试使用形如 %i1 或 %o5
的变量名，那将会和采用该标签的行相混淆。 Maxima 对字符的大小写是敏感的。所有内建函数的函数名都是小写的 (sin, cos, save, load,等)。内建的常数采用小写形式 (%e, %pi, inf, 等)。如果你键入 SIN(x) 或者 Sin(x)， Maxima 认为你指代其他的函数
而不是内建的 sin 函数。用户自定义函数和变量可以采用大写或小写的形式。 foo(XY), Foo(Xy), FOO(xy) 是不同的函数。
特殊键和符号
- 要结束一个Maxima会话，键入 quit();.
- 要终止一次计算而不退出Maxima，键入 ^C。 (这儿 ^ 代表Ctrl键，因此 ^C 意味着先按住Ctrl键，然后再按下C。）了解这一点在有些情况下对你是很重要的，比如，在一次计算需要耗费太长时间的时候。举例如下：
(%i1) sum (1/x^2, x, 1, 10000); Maxima encountered a Lisp error: Console interrupt. Automatically continuing. To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil. (%i2)
- 要告诉Maxima你已经完成了命令的输入，键入分号(;)并回车。注意到单独一个回车并不代表输入的结束。
- 另一个可以代替分号 (;) 的终止符是一个美元符号($)，而且，它可以取消 MAXIMA 计算结果的显示，当你在进行一次有着很长结果的计算，并且你不想浪费时间显示结果的时候，这会很有用。
- 如果你想重复一条你已经给出的命令，比如说在 (%i5) 行，你可以在上述的行号前加两个单引号 (") 的方法来避免再次输入，比如， %i5。（注是简单地输入 %i5 并不能实现这种效果──试试吧。）
- 如果你想引用Maxima上一步计算的结果，你可以用它的 o 标签，也可以使用专门的百分号(%)。
- 标准量 e (自然对数的底数)，i (-1 的平方根) 和 p (3.14159?) 分别表示成 %e，%i, 和 %pi。注意这里% 只是作为一个前缀使用, 与用 % 来查询先前计算结果的用法完全无关。
- 为了把一个值赋给一个变量，Maxima使用冒号 (:)，而不是等号。等号被用来表示方程或等式。
算术
常见的算术操作符有:
- + 加法
- - 减法
- * 标量乘法
- / 除法
- ^或 ** 指数
- . 矩阵乘法
- sqrt(x) x的平方根
Maxima输出的特点是严格的算术（有理）运算。例如：
(%i1) 1/100 + 1/101;
201
(%o1) -----
10100
如果计算中涉及无理数，它们将保持符号形式：
(%i2) (1 + sqrt(2))^5;
5
(%o2) (sqrt(2) + 1)
(%i3) expand (%);
(%o3) 29 sqrt(2) + 41
尽管如此,将计算结果用小数显示出来往往是有用的。这可以通过在你想要展开的表达式后面加上“ ,numer” 来实现。
(%i4) %, numer; (%o4) 82.01219330881976
注意在这里使用了% 来引用上一步的结果. 在这个版本的 Maxima 里, numer 给出 16 位的有效数字, 但最后
一位往往是不可靠的. 尽管如此, Maxima 可以通过使用 bfloat函数来提供 任意高的的精度：
(%i5) bfloat (%o3); (%o5) 8.201219330881976B1
显示的有效数字的位数由Maxima的变量fpprec控制，它的缺省值是16：
(%i6) fpprec; (%o6) 16
在这儿我们重置 fpprec 以产生100个有效数字：
(%i7) fpprec: 100; (%o7) 100 (%i8) %i5; (%o8) 8.20121933088197564152489730020812442785204843859314941221# 2371240173124187540110412666123849550160561B1
注意在(%i8)中用两个单引号()来重复命令 (%i5)。Maxima可以处理非常大的数而不用近似值：
(%i9) 100!; (%o9) 9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859# 2963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251# 185210916864000000000000000000000000
代数
当我们看到 MAXIMA 在代数上的便利后，作为一个使符号运算的计算机工具，它的重要性就变得更明显了。 这里有一个分解多项式的例子：
(%i1) (x + 3*y + x^2*y)^3;
2 3
(%o1) (x y + 3 y + x)
(%i2) expand (%);
6 3 4 3 2 3 3 5 2 3 2
(%o2) x y + 9 x y + 27 x y + 27 y + 3 x y + 18 x y
2 4 2 3
+ 27 x y + 3 x y + 9 x y + x
现在假定我们想把上面表达式中的 x用 5/z 替代：
(%i3) %o2, x=5/z;
2 3 2 3
135 y 675 y 225 y 2250 y 125 5625 y 1875 y
(%o3) ------ + ------ + ----- + ------- + --- + ------- + ------
z 2 2 3 3 4 4
z z z z z z
2 3
9375 y 15625 y 3
+ ------- + -------- + 27 y
5 6
z z
Maxima 内建函数ratsimp 用来进行通分操作：
(%i4) ratsimp (%);
3 6 2 5 3 4
(%o4) (27 y z + 135 y z + (675 y + 225 y) z
2 3 3 2 2
+ (2250 y + 125) z + (5625 y + 1875 y) z + 9375 y z
3 6
+ 15625 y )/z
表达式也可以使用factor进行因式分解：
(%i5) factor (%);
2 3
(3 y z + 5 z + 25 y)
(%o5) ----------------------
6
z
Maxima可以求解非线性代数方程系统的精确解。在这个例子中，我们使用函数solve解一个三元方程组， 三个未知数分别为 a, b, c：
(%i6) a + b*c = 1;
(%o6) b c + a = 1
(%i7) b - a*c = 0;
(%o7) b - a c = 0
(%i8) a + b = 5;
(%o8) b + a = 5
(%i9) solve ([%o6, %o7, %o8], [a, b, c]);
25 sqrt(79) %i + 25 5 sqrt(79) %i + 5
(%o9) [[a = -------------------, b = -----------------,
6 sqrt(79) %i - 34 sqrt(79) %i + 11
sqrt(79) %i + 1 25 sqrt(79) %i - 25
c = ---------------], [a = -------------------,
10 6 sqrt(79) %i + 34
5 sqrt(79) %i - 5 sqrt(79) %i - 1
b = -----------------, c = - ---------------]]
sqrt(79) %i - 11 10
注意上面的显示由一个“列表”组成，也就是说，由两个方括号[ ... ]括住的一些表达式， 它本身还包含两个列表，每个列表包含方程组的一组解。Maxima可以轻松处理三角问题，函数trigexpand利用sum-angles公式使得每个三角函数的参数尽可能简单。
(%i10) sin(u + v) * cos(u)^3;
3
(%o10) cos (u) sin(v + u)
(%i11) trigexpand (%);
3
(%o11) cos (u) (cos(u) sin(v) + sin(u) cos(v))
与此相反，函数 trigreduce把一个表达式转换成几项和的形式，每一项只含有1个 sin 或 cos：
(%i12) trigreduce (%o10);
sin(v + 4 u) + sin(v - 2 u) 3 sin(v + 2 u) + 3 sin(v)
(%o12) --------------------------- + -------------------------
8 8
函数 realpart 和 imagpart 返回一个复数表达式的实部和虚部：
(%i13) w: 3 + k*%i;
(%o13) %i k + 3
(%i14) w^2 * %e^w;
2 %i k + 3
(%o14) (%i k + 3) %e
(%i15) realpart (%);
3 2 3
(%o15) %e (9 - k ) cos(k) - 6 %e k sin(k)
微积分
Maxima可以计算导数和积分，按 Taylor 级数展开，求极限和普通的微分方程的精确解。我们从把 符号 f 定义为如下的 x 的函数开始：
(%i1) f: x^3 * %e^(k*x) * sin(w*x);
3 k x
(%o1) x %e sin(w x)
我们计算 f 对自变量 x 的导数：
(%i2) diff (f, x);
3 k x 2 k x
(%o2) k x %e sin(w x) + 3 x %e sin(w x)
3 k x
+ w x %e cos(w x
现在我们求 f 对 x 的不定积分：
(%i3) integrate (f, x);
6 3 4 5 2 7 3
(%o3) (((k w + 3 k w + 3 k w + k ) x
6 2 4 4 2 6 2
+ (3 w + 3 k w - 3 k w - 3 k ) x
4 3 2 5 4 2 2 4
+ (- 18 k w - 12 k w + 6 k ) x - 6 w + 36 k w - 6 k )
k x 7 2 5 4 3 6 3
%e sin(w x) + ((- w - 3 k w - 3 k w - k w) x
5 3 3 5 2
+ (6 k w + 12 k w + 6 k w) x
5 2 3 4 3 3 k x
+ (6 w - 12 k w - 18 k w) x - 24 k w + 24 k w) %e
8 2 6 4 4 6 2 8
cos(w x))/(w + 4 k w + 6 k w + 4 k w + k )
稍微改变一下语法可以得到定积分：
(%i4) integrate (1/x^2, x, 1, inf); (%o4) 1 (%i5) integrate (1/x, x, 0, inf); Integral is divergent -- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);
下面我们使用符号 f (在 %i1中已定义)和双曲正弦函数来定义符号g，并在 x = 0 点展开为泰勒
级数（高达3阶）:
(%i6) g: f / sinh(k*x)^4;
3 k x
x %e sin(w x)
(%o6) -----------------
4
sinh (k x)
(%i7) taylor (g, x, 0, 3);
2 3 2 2 3 3
w w x (w k + w ) x (3 w k + w ) x
(%o7)/T/ -- + --- - -------------- - ---------------- + . . .
4 3 4 3
k k 6 k 6 k
当 x 趋向于0时 g 的极限计算如下：
(%i8) limit (g, x, 0);
w
(%o8) --
4
k
Maxima也允许导数已非计算形式表示（注意引号）：
(%i9) 'diff (y, x);
dy
(%o9) --
dx
(%i9) 中的引号操作符表示（不求值）。没有它的话，Maxima将得到0：
(%i10) diff (y, x); (%o10) 0
使用引号操作符我们可以写微分方程：
(%i11) 'diff (y, x, 2) + 'diff (y, x) + y;
2
d y dy
(%o11) --- + -- + y
2 dx
dx
Maxima的 ode2 函数可以求解一阶和二阶的常微分方程：
(%i12) ode2 (%o11, y, x);
- x/2 sqrt(3) x sqrt(3) x
(%o12) y = %e (%k1 sin(---------) + %k2 cos(---------))
2 2
矩阵运算
Maxima 可以计算行列式，以及带符号元素(也就是说，带有代数变量的元素)的矩阵的逆, 特征值和 特征向量。我们从一个元素一个元素地输入一个矩阵 m开始：
(%i1) m: entermatrix (3, 3);
Is the matrix 1. Diagonal 2. Symmetric 3. Antisymmetric 4. General
Answer 1, 2, 3 or 4 :
4;
Row 1 Column 1:
0;
Row 1 Column 2:
1;
Row 1 Column 3:
a;
Row 2 Column 1:
1;
Row 2 Column 2:
0;
Row 2 Column 3:
1;
Row 3 Column 1:
1;
Row 3 Column 2:
1;
Row 3 Column 3:
0;
Matrix entered.
[ 0 1 a ]
[ ]
(%o1) [ 1 0 1 ]
[ ]
[ 1 1 0 ]
下面我们求它的转置，行列式和逆矩阵：
(%i2) transpose (m);
[ 0 1 1 ]
[ ]
(%o2) [ 1 0 1 ]
[ ]
[ a 1 0 ]
(%i3) determinant (m);
(%o3) a + 1
(%i4) invert (m), detout;
[ - 1 a 1 ]
[ ]
[ 1 - a a ]
[ ]
[ 1 1 - 1 ]
(%o4) -----------------
a + 1
在 (%i4)中，修饰符 detout 将行列式的值保持在逆矩阵元素的外边。作为检验，我们用 矩阵 m 乘以它的逆（注意这儿用小数点表示矩阵的乘法）：
(%i5) m . %o4;
[ - 1 a 1 ]
[ ]
[ 1 - a a ]
[ 0 1 a ] [ ]
[ ] [ 1 1 - 1 ]
(%o5) [ 1 0 1 ] . -----------------
[ ] a + 1
[ 1 1 0 ]
(%i6) expand (%);
[ a 1 ]
[ ----- + ----- 0 0 ]
[ a + 1 a + 1 ]
[ ]
[ a 1 ]
(%o6) [ 0 ----- + ----- 0 ]
[ a + 1 a + 1 ]
[ ]
[ a 1 ]
[ 0 0 ----- + ----- ]
[ a + 1 a + 1 ]
(%i7) factor (%);
[ 1 0 0 ]
[ ]
(%o7) [ 0 1 0 ]
[ ]
[ 0 0 1 ]
要求得矩阵 m 的特征值和特征向量，我们使用函数 eigenvectors：
(%i8) eigenvectors (m);
sqrt(4 a + 5) - 1 sqrt(4 a + 5) + 1
(%o8) [[[- -----------------, -----------------, - 1],
2 2
sqrt(4 a + 5) - 1 sqrt(4 a + 5) - 1
[1, 1, 1]], [1, - -----------------, - -----------------],
2 a + 2 2 a + 2
sqrt(4 a + 5) + 1 sqrt(4 a + 5) + 1
[1, -----------------, -----------------], [1, - 1, 0]]
2 a + 2 2 a + 2
在 %o8中，第一个元组（triple）给出了m的特征值，第二个给出了它们各自的重数（此处都是不重复的）。下面的三个元组给出了 m 相应的特征向量。为了从这些表达式中提取一个特征向量，我们使用 part 函数：
(%i9) part (%, 2);
sqrt(4 a + 5) - 1 sqrt(4 a + 5) - 1
(%o9) [1, - -----------------, - -----------------]
2 a + 2 2 a + 2
Maxima编程
到现在为止，我们已经在交互模式下用过了 Maxima，就象个计算器一样，然而，对于那些需要多次调用的计算过程，还是编写一个自定义函数来得方便。这里我们展示了一个简短的自定义函数，用来计算二元函数 f(x,y) 的极值点。这个程序提示用户输入函数 f，之后就会计算 fx 和 fy 的偏导数，接着调用 Maxima 命令 solve 去得到 fx=fy=0的解。这个程序在 Maxima 之外用一个文本编辑器编写，然后用 batch 命令装载进 Maxima。下面是程序列表：
/* -------------------------------------------------------------------------- this is file critpts.max: as you can see, comments in maxima are like comments in C Nelson Luis Dias, [email protected] created 20000707 updated 20000707 --------------------------------------------------------------------------- */ critpts():=( print("program to find critical points"), /* --------------------------------------------------------------------------- asks for a function --------------------------------------------------------------------------- */ f:read("enter f(x,y)"), /* --------------------------------------------------------------------------- echoes it, to make sure --------------------------------------------------------------------------- */ print("f = ",f), /* --------------------------------------------------------------------------- produces a list with the two partial derivatives of f --------------------------------------------------------------------------- */ eqs:[diff(f,x),diff(f,y)], /* --------------------------------------------------------------------------- produces a list of unknowns --------------------------------------------------------------------------- */ unk:[x,y], /* --------------------------------------------------------------------------- solves the system --------------------------------------------------------------------------- */ solve(eqs,unk) )$
这个程序 (实际上是个没有参数的函数) 叫做 critpts。每一行都是一个有效的 Maxima 语句，由逗号隔开。偏导数被保存在一个叫做 eqs 的变量中。未知数保存在变量 unk 中。以下是运行示例：
(%i1) batch ("critpts.max");
batching #p/home/robert/tmp/maxima-clean/maxima/critpts.max
(%i2) critpts() := (print("program to find critical points"),
f : read("enter f(x,y)"), print("f = ", f),
eqs : [diff(f, x), diff(f, y)], unk : [x, y], solve(eqs, unk))
(%i3) critpts ();
program to find critical points
enter f(x,y)
%e^(x^3 + y^2)*(x + y);
2 3
y + x
f = (y + x) %e
(%o3) [[x = 0.4588955685487 %i + 0.35897908710869,
y = 0.49420173682751 %i - 0.12257873677837],
[x = 0.35897908710869 - 0.4588955685487 %i,
y = - 0.49420173682751 %i - 0.12257873677837],
[x = 0.41875423272348 %i - 0.69231242044203,
y = 0.4559120701117 - 0.86972626928141 %i],
[x = - 0.41875423272348 %i - 0.69231242044203,
y = 0.86972626928141 %i + 0.4559120701117]]
Maxima函数的不完全列表
看Maxima的参考手册doc/html/maxima_toc.html （在Maxima的安装目录下）。在Maxima运行时，你可以使用 describe(函数名)。
- allroots(a)
- 求解多项式方程a所有的（复数）根，并把它们以数值格式（i.e. 采用16位有效数 字）列出来。
- append(a,b)
- 将列表b追加到列表a，产生一个单一列表。
- batch(a)
- 加载并运行一个文件名为a的程序。
- coeff(a,b,c)
- 给出表达式a中b的c次方项的系数。
- concat(a,b)
- 生成符号ab，比如concat(y,44)的结果为y44。
- cons(a,b)
- 将a加入列表b的头部。
- demoivre(a)
- 将表达式a中的复指数项变换为等价的三角形式。
- denom(a)
- 给出表达式a的分母。
- depends(a,b)
- 声明a是自变量b的函数。这在书写微分方程的时候很有用。
- desolve(a,b)
- 使用拉普拉斯变换求解线性常微分方程a的未知量b。
- determinant(a)
- 给出方阵a的行列式。
- diff(a,b1,c1,b2,c2,...,bn,cn)
- 给出a对变量bi的ci阶偏导数。diff(a,b,1)可简写为diff(a,b)。’diff(...) 代表不经过计算（unevaluated）的求导，这在书写微分方程的时候很有用。
- eigenvalues(a)
- 返回两个列表，第一个列表是矩阵a的本征值，第二个是本征值对应的重复次 数。
- eigenvectors(a)
- 包含eigenvalues所有功能，并且计算矩阵a的本征向量。
- entermatrix(a,b)
- 引导用户一个一个元素地输入一个a × b 的矩阵。
- ev(a,b1,b2,...,bn)
- 在bi 的条件下计算表达式a的值。bi可以是方程、方程构成的列表（比如solve 返回的结果 ）或者赋值语句 ， 在这种情况下 ，ev将bi“插 入”到 表 达 式a中 。bi还 可 以 是关键词numer（它让结果以数值格式显示），detout（它使任一矩阵的逆矩阵把行列式 的值作为系数放在矩阵外），或者diff（它要求所有的微分都必须计算，即’diff被diff替 代 ） 。 对manual command(即 ，不在用户自定义函数内)，ev可以省略 ，
- 于 是 可 简 写 为a,b1,b2,...,bn.
- expand(a)
- 展开表达式a。
- exponentialize(a)
- 将a中的所有三角函数转换为它们对应的复指数形式。
- factor(a)
- 对表达式a进行因式分解。
- freeof(a,b)
- 如果a不是表达式b的一部分，返回true。
- grind(a)
- Displays a variable or function a in a compact format.When used with writefile and an editor outside of Maxima, it offers a scheme for producing batch files which include Maxima- generated expressions.
- ident(a)
- 返回一个a × a的单位矩阵。
- imagpart(a)
- 返回a的复数部分。
- integrate(a,b)
- 计算a对变量b的不定积分。
- integrate(a,b,c,d)
- 计算a在区间b ∈ [c, d]上的定积分。积分限c,d可以分别取minf（负无穷大）， inf（正无穷大）。
- invert(a)
- 计算方阵a的逆矩阵。
- kill(a)
- 从当前的Maxima环境中移除变量a以及它的属性。
- limit(a,b,c)
- 计算当b趋近于c时a的极限。与积分函数integrate一样，c可以取inf或minf。
- lhs(a)
- 给出方程a的等号左边部分。
- loadfile(a)
- 从磁盘的当前目录中加载文件名为a的文件 。 该文件必须具有正确的格式（i.e. 由save命令创建）。
- makelist(a,b,c,d)
- 创建一个a（假定a以b为自变量）的列表 ， 从b=c到b=d依次将a追加到列表。
- map(a,b)
- Maps the function a onto the subexpressions of b.
- matrix(a1,a2,...,an)
- 创建一个以ai为行向量的矩阵a，每一个行向量是一个包含m个元素的列 表[b1, b2, ..., bm]。
- num(a)
- 给出表达式a的分子。
- ode2(a,b,c)
- 求解一阶或二阶常微分方程a，其中b是c的函数。
- part(a,b1,b2,...,bn)
- 首先取表达式的第b1部分，然后再在该部分中再取b2部分，依次...
- playback(a)
- Displays the last a (an integer) labels and their associated expressions. If a is omitted, all lines are played back. See the Manual for other options.
- ratsimp(a)
- 化简并以两个多项式的商的形式显示。
- realpart(a)
- 返回a的实部。
- rhs(a)
- 给出方程a的等号右边部分。
- save(a,b1,b2,..., bn)
- 在磁盘的当前目录下创建包含变量、函数或矩阵bi的文件a。该文件可以 在以后的会话中用loadfile命令重新载入。如果b1取all的话，每一个符号（包括标签）都可 以得以保存。
- solve(a,b)
- 求解关于未知数b的代数方程a，将返回一个根的列表。简单起见，如果方程a是c=0的 形式（即方程右侧为0）,a可以用表达式c替代。
- string(a)
- 将表达式a转换为Maxima的线性表示（类似a的Fortran表示）就像是它被输入并放入 一个缓冲区以用来进行可能的编辑。这样string以后的表达式不能用于后续的计算。
- stringout(a,b1,b2,...,bn)
- 在当前缺省磁盘目录下创建关于变量bi（比如labels）的文件a。该文 件采用文本格式并且不能被Maxima再次读入。尽管如此，这种字符串化的输出只需经过稍 许修改就可用于Fortran，Basic或C程序。
- subst(a,b,c)
- 将表达式c中的b用a来替换。
- taylor(a,b,c,d)
- 将表达式a在b=c处展开为泰勒级数，展开的级次不超过(b − c)d 。Maxima也支 持超过一个自变量的泰勒展开，详细资料查看手册。
- transpose(a)
- 给出矩阵a的转置。
- trigexpand(a)
- 这是一个三角化简的函数，它采用sum-of-angle公式使得每一个sin和cos函数的变 量尽可能简单。例如：trigexpand(sin(x+y))的结果为cos(x) sin(y) + sin(x) cos(y).
- trigreduce(a)
- 这是一个三角化简的函数，它采用三角恒等式将乘积或幂函数变换为sin或cos的 和的形式，每一项只含有一个sin或cos。例如：trigreduce(sin(x)^2)的结果为(1 - cos(2x))/2.
- trigsimp(a)
- 这也是一个三角化简的函数，它将表达式中的tan，sec等函数变换为cos和sin函数。 变换过程中它也使用恒等式sin()2 + cos()2 = 1。
